风险管理与金融衍生物
风险
- 风险：结果的不确定性
- 金融衍生物（financial derivatives）是一种风险管理的工具，它的价值依赖于其他更基本的原生资产（标的资产）（underlying assets）的变化而变化。
- 三种最基本的金融衍生工具：远期合约（forward contracts）,期货（futures）和期权（options）。如果原生资产是股票，债券，汇率...，则有股票期货（期权），债券期货（期权），货币期货（期权）......
远期合约
- 远期合约：在未来确定时间内，以确定价格购（销）一定数量和质量的某原生资产的协议。
- 合约的购入方为多头（long position），销售方为空头(short position)。合约中标明的确定价格和确定日期为交割价（delivery price）和交割日（maturity）
- 远期合约在交割日的收益
$$ V_T=S_T-K（多头方）\\ V_T=K-S_T（空头方） $$
其中K为交割价格，T为交易日，V表示收益，$S_T$表示原生资产在T日的价格
- 远期合约一般都在场外交易（over-the-counter,OTC）
期货
期货跟远程合约相同，但是它是由远期合约逐步标准化而形成的，它们之间的区别在于
- 期货交易通常在交易所
- 期货合约具有标准化条约
- 期货合约上的交割价格通常是由场内交易决定的，它依赖于供求关系
期权
- 期权：持有人在确定时间，按确定价格向出售方购（销）一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入（销售）的义务。
- 期权持有人具有实施协议的权利，但没有必须实施的义务。
- 确定价称为实施价格（exercise price）或敲定价格（strike price），确定日期称为到期日（expiry date），按期权合约规定执行或销售原生资产称为实施（exercise）.
期权按合约中购入和销售原生资产来划分：
- 看涨期权（call option）:一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约。
- 看跌期权（put option）：一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约。
期权按合约中有关实施的条约来划分：
- 欧式期权（European options）：只能在合约规定的到期日实施
- 美式期权（American options）：能在合约规定的到期日以前（包括到期日）的任何一个工作日实施。
$$ V_T=(S_T-K)^+ \quad(call \quad option)\\ V_T=(K-S_T)^+ \quad(put \quad option) $$
- 期权是一种未定权益（contingent claim）。为取得这个权益需要付出的代价称为期权金（premium），因此持有人总收益P为
$$ P_T=(S_T-K)^+-p \quad(call \quad option)\\ P_T=(K-S_T)^+-p \quad(put \quad option) $$
期权定价
- 期权定价问题即为求$V=V(S,t),(0\le S < \infty,0\le t\le T)$,使得
$$ V(S,T)=\left\{ \begin{gathered} (S-K)^+ \quad(call \quad option)\\ (K-S)^+ \quad(put \quad option) \end{gathered} \right. $$
t时刻原生资产价格为$S_t$，期权价格为$V_t$
交易者的类型
- 套期保值者（hedger）:两面下注避免损失。
投机者（speculator）：甘愿用资金去冒险，不断其买进卖出衍生证券（期货、期权），希望从市场价格的经常变化中获取利润的行为。
- 投资与期权与直接投资于原生资产相比具有高回报、高风险的特点；其原因在于：期权投资的杠杆作用（leverage）很大,投资人通过投入少量资金（支付期权金），而实际进行的是比它大数倍的原生资产的投资。
- 套利者（arbitrageur）：基于对同一类风险资产的观察，利用市场价格的差异，在不同的市场同时进行交易，获取瞬时无风险利润。套利与投机不同；投机是基于对未来价格水平的预测，以牟取利润，这是有风险的。套利是利用不同市场在价格联系上的差异的现实，以谋取利润，这是无风险的。
Black-Scholes 模型
为了对期权进行定价，需要构建一个由金融衍生品和标的资产组成的无风险套利组合。在无套利的条件下，交易组合的收益率等于无风险收益率$r_f$。
当前讨论的期权以股票作为标的资产，并假设其价格遵循几何布朗运动。
$$ dS(t) = \mu S(t)dt +\sigma S(t)dW(t) $$
其中$\mu$是预计收益率，即$r_f$,$\sigma$表示股票价格的波动率，其中$\mu$和$\sigma$都是常量。$dW(t)$受布朗运动影响，服从$dW(t) = \varepsilon \sqrt{dt}$，$\varepsilon$是一个受标准正态分布影响的随机变量。
令$c=c(t,S(t))$表示标的资产看涨期权的价格，根据伊藤定理可以得到
$$ dc = \frac{\partial c}{\partial t}dt + \frac{\partial c}{\partial S}dS(t)+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}(dS(t))^2 \\ dc = (\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial c}{\partial S}\mu S+ \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2})dt+\frac{\partial c}{\partial S}\sigma SdW(t) $$
为了实现无风险组合，因此构造$\Delta t$份标的股票多头和一份期权空头 ，并且由于其是无风险的，所以有
$$ V(t) = \Delta_t S(t) - c(t,S(t)) \\ dc(t,S(t)) - \Delta_t dS(t) = r(c(t,S_t) - \Delta_t S(t)) dt $$
代入上式可以得到
$$ r(c(t,S_t) - \Delta S)dt = (\Delta_t\mu S(t)-\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial c}{\partial S}\mu S- \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2})dt+(\Delta_t\sigma S - \frac{\partial c}{\partial S}\sigma S)dW(t) $$
因为等式左端是无风险的，因此右端的随机项$dW_t$系数为0，则有$\Delta_t = \frac{\partial c}{\partial S}$，回代可得到BS方程
$$ \frac{\partial c}{\partial t} +rS\frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 S}{\partial S^2}-rc =0 $$
针对以上推导出的期权定价偏微分方程，可以继续推导得到Black-Scholes公式，未期权定价的闭合公式。也可以应用传统的数值方法进行进行求解。
Heston模型
Heston模型在BS模型的基础上引入了随机波动率的模型，其认为标的资产的波动并非为常数，而是一个符合布朗运动的随机过程。
$$ dS = \mu dt+\sqrt{v_t}dW_{t1} \\ dv_t = \kappa(\theta-v_t)dt + \sigma \sqrt{v_t}dW_{t_2} \\ dW_{t_1}\cdot dW_{t_2} = \rho d_t $$
对于Heston模型的求解可以采用有限差分法、有限元法等数值方法。但对于高维资产情形的期权定价，偏微分方程的计算时间和记忆容量随着资产数量的增加呈指数级增长，使得这些数值方法并未表现出特别的优势。蒙特卡罗模拟的方法可以有效对高维资产情形下的期权进行定价。尽管蒙特卡罗方法能够最终有效地逼近理论值，然而，随着资产数量的增加，其所需时间也急剧增加，这也限制了它在高维情景中的应用。